Small Math puzzle

話說今日Theory Lunch中途Chandra問了一道數學問題，有難版易版﹕

問題1(易版)﹕求小數點後第107個小數位。

問題2(難版)﹕求小數點後第234個小數位。

難易版都不容易解決。然後超超和斯瑤很輕鬆的解決了它們，據超超說，有玩過數學比賽的都懂得這些題…

先說易版。考慮。
容易得知

是整數。又，



因此可把看成是一個很小的數然後使得進位成整數。可以推斷，因此小數點後第107位的數字是待進位的數，即9。

至於難版，則可以利用來解決。唯一需要証明的是


是整數。這時超超就給了一個很有趣的証明。

定理1﹕設，，則對於任意非負整數n，都使得。

証明1﹕已知

、
、
和



因此用歸納法得証。