Topcoder SRM 542 Div 1 Easy + Medium

Easy: 題意非常簡單，給定$X\times Y$的格網，問多少三角形$\triangle ABC$使得以下條件成立。

1) $A, B, C$的縱座標必須各不相同。
2) $A, B, C$的橫座標必須各不相同。
3) $\triangle ABC$的邊長必須介乎$T_\min$與$T_\max$之間。

任意兩點$(X_1, Y_1), (X_2, Y_2)$的距離定義取曼哈頓距離，即$|X_1-X_2| + |Y_1-Y_2|$。

已知$X, Y \le 4000$，$2 \le T_\min \le T_\max \le 20000$，求有多少個符合條件的三角形並取除$1000000007$的餘數。

利用窮舉肯定不可行，$O(X^3Y^3)$無望。從題目特質入手。條件(1)和(2)似乎沒有甚麼特別，似乎保証三角形必定是proper triangle，但卻沒有把題目變得更容易。條件(3)好像也沒有特別作用，但如果定義$F(k)$為三角形的數量使得長度最多為$k$，則在可以著手求$F(T_\max) - F(T_{\min-1})$。不過題目依舊沒有容易很多。

唯一著眼點是曼哈頓距離。可以得出任意三角形在曼哈頓距離的情況下必如下圖﹕

其周界即相等於平行縱橫軸的最小包含長方形周界，長度為$2(\Delta_x + \Delta_y)$。由此可知我們其實想求所有可行的$\Delta_x$和$\Delta_y$使得
$$T_\min \le 2(\Delta_x+\Delta_y) \le T_\max$$
即表明我們毋需枚舉三點，只需枚舉$\Delta_x$及$\Delta_y$即可，當中$\Delta_x$及$\Delta_y$包含的三角形數即屬答案一部分。

那麼顯而易見對於$\Delta_x$($\Delta_y$亦然)，必須有兩點的橫座標相隔$\Delta_x$，第三點則任意取其中間的點。而根據橫座標最多$X$點，則$\Delta_x$的長度有$X-\Delta_x$種取法，第三點則有$\Delta_x-1$種取法，因此符合條件的所有橫向座標有$(X-\Delta_x)(\Delta_x-1)$種。同埋縱向座標有$(Y-\Delta_y)(\Delta_y-1)$種。

可能你會覺得奇怪，為何分開縱橫軸計算？看如下圖片便知﹕

只要我們知道縱軸三點和橫軸三點，則可以構造$6$個不同的三角形。因此，對於$\Delta_x$及$\Delta_y$，只要符合條件(3)，一共有$6(X-\Delta_x)(\Delta_x-1)(Y-\Delta_y)(\Delta_y-1)$個三角形。

因此本題能在$O(XY)$時間計算答案
$$\sum_{\Delta_x=2}^{X-1}\sum_{\stackrel{\Delta_y=2}{T_\min \le \Delta_x+\Delta_y \le T\max}}^{Y-1} 6(X-\Delta_x)(\Delta_x-1)(Y-\Delta_y)(\Delta_y-1) \bmod{1000000007}$$

Medium: 給了$N$個長度恰好為$L$且互不相同的字串，以均等機會隨機取一任意固定排列，然後為字串依排列重組，並為$N$個字串排序，問每個字串排首位的概率是多少。$1 \le N \le 16$，擺明是Exponential Time動態規劃吧。不妨設$F(B, i)$表示以集合$B$內的字串$s_i$經排序後排首位的概率。可以知道對於$s_i \not\in B, F(B, i) = 0$，而且$F(\{s_i\}, i) = 1$。由於字串互不相等，因此必定存在位罝$p$使得存在$i, j$並且$s_{ip} > s_{jp}$，即存在$s_{ip}$不可能再成為首位。假設$B'$包含了該種字串，枚舉$L$個字串位置後有$K$個可排除集合$B'_1, B'_2 \cdots B'_K$，因此得遞迴公式
$$F(B, i) = \frac{1}{K}\sum_{B' = B'_1, \cdots B'_K}F(B-B', i)$$

並可於$O(2^NL)$計算答案$\{F(S, 1), F(S, 2), \cdots F(S, N)\}$，其中$S = \{s_1, \cdots s_N\}$。

有一個小問題﹕為何不用考慮排除集合為空集的的情況？如果考慮了後則會有$F(B, i)$依賴自身狀態的情況？

答案﹕Principle of Deferred Decision。

另外，我們亦可以憑如下關係得到同樣答案﹕
$\begin{align*} F(B, i) &= \frac{1}{L}\sum_{B'}F(B-B', i)\\ F(B, i) &= \frac{1}{L}\sum_{\stackrel{B'}{B'\ne \emptyset}}F(B-B', i) + \frac{1}{L}\sum_{\stackrel{B''}{B''= \emptyset}}F(B-B'', i)\\ F(B, i) &= \frac{1}{L}\sum_{\stackrel{B'}{B'\ne \emptyset}}F(B-B', i) + \frac{L-K}{L}F(B, i)\\ \frac{K}{L}F(B, i) &= \frac{1}{L}\sum_{\stackrel{B'}{B'\ne \emptyset}}F(B-B', i)\\ F(B, i) &= \frac{1}{K}\sum_{\stackrel{B'}{B'\ne \emptyset}}F(B-B', i)\\ \end{align*}$